Important : Ce guide assume que vous savez comment :

  1. Rédiger un script RMarkdown
  2. Installer et activer des packages
  3. Importer une base de données
  4. Préparer des données
  5. Vérifier la normalité (Section 1.1)

Vous pouvez cliquer sur les liens ci-dessus pour consulter les guides associées.

0.1 Banque de données

Dans ce guide, nous étudierons des fleurs. La banque de données que nous utiliserons (iris) est inclue par défaut dans R. Pour suivre, vous n’avez donc qu’à utiliser la syntaxe suivante :

# Packages
library(knitr)
library(tibble)
library(ggplot2)
library(car)
library(effectsize)
library(emmeans)

# Importer les données
data("iris")
df <- tibble(iris)

Voici à quoi devrait ressembler votre banque de données après l’étape de préparation :

df
## # A tibble: 150 × 5
##    Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
##           <dbl>       <dbl>        <dbl>       <dbl> <fct>  
##  1          5.1         3.5          1.4         0.2 setosa 
##  2          4.9         3            1.4         0.2 setosa 
##  3          4.7         3.2          1.3         0.2 setosa 
##  4          4.6         3.1          1.5         0.2 setosa 
##  5          5           3.6          1.4         0.2 setosa 
##  6          5.4         3.9          1.7         0.4 setosa 
##  7          4.6         3.4          1.4         0.3 setosa 
##  8          5           3.4          1.5         0.2 setosa 
##  9          4.4         2.9          1.4         0.2 setosa 
## 10          4.9         3.1          1.5         0.1 setosa 
## # ℹ 140 more rows

1 ANOVA

1.1 Hypothèses

L’hypothèse alternative est qu’il existe au moins une distribution dont la moyenne s’écarte des autres moyennes : \[ \begin{aligned} H_0 & : \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu \\ H_1 &: \exists(i,j) \: \text{tel que} \: \mu_i ≠ \mu_j \\ \end{aligned} \] Note: l’hypothèse \(H_1\) se traduit comme suit : « Il existe une combinaison de i et j tel que la moyenne \(\mu_i\) n’est pas égale à la moyenne \(\mu_j\) » (shoutout à cet article wikipedia). Autrement dit, une ANOVA significative nous indique qu’au moins une des affirmations suivantes est vraie :
\[ \begin{aligned} \mu_{\text{setosa}} & ≠ \mu_{\text{versicolor}} \\ \mu_{\text{setosa}} & ≠ \mu_{\text{virginica}}\\ \mu_{\text{versicolor}} & ≠ \mu_{\text{virginica}}\\ \end{aligned} \]

Voici un graphique pour visualiser l’analyse que nous allons effectuer :

ggplot(df, aes(x = Petal.Length, fill = Species)) + 
    geom_density(alpha = .5) +
    geom_vline(lty = 2, col = "red", xintercept = mean(df[df$Species == "setosa",]$Petal.Length)) +
    geom_vline(lty = 2, col = "green", xintercept = mean(df[df$Species == "versicolor",]$Petal.Length)) +
    geom_vline(lty = 2, col = "blue", xintercept = mean(df[df$Species == "virginica",]$Petal.Length)) +
    labs(x = "Longeur du sépale", y = "Densité") + 
    theme_classic()

1.2 Postulats

  1. La variable est continue : ☑
  2. Les observations sont indépendantes : ☑
  3. Distribution normale dans chaque groupe : à vérifier
  4. Homoscédasticité : à vérifier
df_setosa <- subset(df, df$Species == "setosa")
df_versicolor <- subset(df, df$Species == "versicolor")
df_virginica <- subset(df, df$Species == "virginica")

1.2.1 Normalité

1.2.1.1 Shapiro-Wilk

shapiro.test(df_setosa$Petal.Length)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  df_setosa$Petal.Length
## W = 0.95498, p-value = 0.05481
shapiro.test(df_versicolor$Petal.Length)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  df_versicolor$Petal.Length
## W = 0.966, p-value = 0.1585
shapiro.test(df_virginica$Petal.Length)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  df_virginica$Petal.Length
## W = 0.96219, p-value = 0.1098

1.2.1.2 QQplot

qqnorm(df_setosa$Petal.Length)
qqline(df_setosa$Petal.Length)

qqnorm(df_virginica$Petal.Length)
qqline(df_virginica$Petal.Length)

qqnorm(df_versicolor$Petal.Length)
qqline(df_versicolor$Petal.Length)

1.2.2 Homoscédasticité

library(car)
leveneTest(df$Petal.Length ~ df$Species)
## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##        Df F value    Pr(>F)    
## group   2   19.48 3.129e-08 ***
##       147                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

1.3 Faire le test

model <- lm(Petal.Length ~ Species, data = df)
anova(model)
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: Petal.Length
##            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## Species     2 437.10 218.551  1180.2 < 2.2e-16 ***
## Residuals 147  27.22   0.185                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

On peut conclure que la longueur moyennes des pétales diffère significativement selon l’espèce de fleur (\(F(2,147) = 1180,2; p < ,05\)).

1.4 Calculer la taille d’effet

library(effectsize)
eta_squared(model)
## For one-way between subjects designs, partial eta squared is equivalent
##   to eta squared. Returning eta squared.
## # Effect Size for ANOVA
## 
## Parameter | Eta2 |       95% CI
## -------------------------------
## Species   | 0.94 | [0.93, 1.00]
## 
## - One-sided CIs: upper bound fixed at [1.00].
cohens_f(model)
## For one-way between subjects designs, partial eta squared is equivalent
##   to eta squared. Returning eta squared.
## # Effect Size for ANOVA
## 
## Parameter | Cohen's f |      95% CI
## -----------------------------------
## Species   |      4.01 | [3.60, Inf]
## 
## - One-sided CIs: upper bound fixed at [Inf].

1.5 Tests post-Hoc

library(emmeans)
emmeans(model, tukey ~ Species)
## $emmeans
##  Species    emmean     SE  df lower.CL upper.CL
##  setosa       1.46 0.0609 147     1.34     1.58
##  versicolor   4.26 0.0609 147     4.14     4.38
##  virginica    5.55 0.0609 147     5.43     5.67
## 
## Confidence level used: 0.95 
## 
## $contrasts
##  contrast               estimate     SE  df t.ratio p.value
##  setosa - versicolor       -2.80 0.0861 147 -32.510  <.0001
##  setosa - virginica        -4.09 0.0861 147 -47.521  <.0001
##  versicolor - virginica    -1.29 0.0861 147 -15.012  <.0001
## 
## P value adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates

2 Test de Kruskal-Wallis

Le test de Kruskal-Wallis est souvent présenté comme une version « robuste » de l’ANOVA et constitue une généralisation du Test U Mann-Whitney (voir section 2 du guide test-t.html).

2.1 Postulats

Voici les postulats du test de Kruskal-Wallis :

  1. La variable est continue : ☑
  2. Les observations sont indépendantes : ☑

2.2 Faire le test

kruskal.test(df$Petal.Length ~ df$Species)
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  df$Petal.Length by df$Species
## Kruskal-Wallis chi-squared = 130.41, df = 2, p-value < 2.2e-16

On peut encore une fois conclure que la longueur moyenne des pétales diffère significativement selon l’espèce de fleur (\(\chi^2(2) = 130,4; p < ,05\)).

2.3 Tests post-Hoc

pairwise.wilcox.test(df$Petal.Length, df$Species, 
                     p.adjust.method = "bonferroni")
## 
##  Pairwise comparisons using Wilcoxon rank sum test with continuity correction 
## 
## data:  df$Petal.Length and df$Species 
## 
##            setosa  versicolor
## versicolor < 2e-16 -         
## virginica  < 2e-16 2.7e-16   
## 
## P value adjustment method: bonferroni

Note: Le critère d’ajustement de la valeur de p de Tukey n’est pas disponible pour cette méthode. J’utilise donc la méthode de correction de Bonferroni. D’autres méthodes sont disponibles. Pour les consulter, exécuter le code suivant dans la console : ?p.adjust.methods

Le test post-hoc avec correction de Bonferroni indique que toutes les différences sont significatives (\(p < ,05\)).